细菌-数量-生长规律的数学模型

云南大学学报(自然科学版),2008,30(S2):157~159CN53-1045/N�ISSN0258-7971JournalofYunnanUniversity�细菌(数量)生长规律的数学模型许金泉1,张�娟2,马琼瑜3,李�云4(1�昆明理工大学材料与冶金工程学院,云南昆明�650093;2�昆明理工大学应用技术学院,云南昆明�650093;3�呈贡县环保局环境监测站,云南呈贡�650500;4�西南铝业(集团)有限责任公司,重庆�401326)摘要:为描述单一细菌群落的生长繁殖(数量、速度)曲线的关系,设计了3种极端条件环境.应用数理方法,分析在各种极端环境中细菌的繁殖情况,得到了新的细菌生长繁殖规律.关键词:微生物;生长繁殖;数学模型中图分类号:TX172��文献标识码:A��文章编号:0258-7971(2008)S2-0157-03��从微生物的基本概念出发,用数学的方法,建立了细菌的生长规律的数学模型[1,2].从这个基本模型出发,将可以更详细地描述出细菌在各个阶段的生长特征[3].1�理想实验假定在繁殖过程中,细菌不发生变异.其繁殖过程可归结为细菌(活体)个体数量变化的问题.以3种极端环境条件,设计了3个理想实验.�三维空间情况:如酿酒、酿制酱油等占有庞大空间的情况,此时细菌可能向任何方向生长繁殖.二维空间情况:在培养皿上涂有一薄层培养基.显然细菌的繁殖是受到了环境的限制,细菌只能沿着平面向外按扩散方式繁殖.!一维空间情况:在一条细细的刻线内才有培养基.显然细菌只能沿细线向前繁殖.2�理论解释与分析首先提出细菌的�∀∀∀#平均寿命∃这个概念.细菌的#寿命∃是指,在已经完全没有营养供给的前提下,细菌不会立即解体,其原先那种生命特征还能维持一段时间,把这段时间称为#寿命∃.对同一种类型的细菌群体,都可用#平均寿命∃来描述.因此�是客观的、内在的、确定的,�值与细菌的种类以及所处的环境有关.假定在t时有n1细菌断了#口粮∃.而在t+�时有n2细菌解体(死亡),则一定有��n1%n2.(1)2�1�实验1�在三维空间下将少量(m0)细菌均匀地接种在培养基内,让其温度、压力、光照、pH值等实验条件保持不变.从细菌开始分裂时算起(即时间的起始点),设在t时刻细菌数量为m,而在t+dt时刻,细菌繁殖了dm,则有��dm=amdt.(2)此时细菌的繁殖规律为何是(2)式呢?理由如下:其一,因为细菌是采取2,4,8&这种等比级数方式繁殖的;其二,所有的种子细菌(m0)都有等同的繁殖机会,故而在(2)式等式右边应有m.另外,由于实验条件恒定,理应把�认定为常数,考虑到细菌的代谢物可能改变培养基的酸、碱度,此时应把�当作时间函数�(t)更为适宜.由(2)式得��logm=logm0+∋t0�()d.(3)当�为常数时,得到最简单的情况��m=m0e�t.(3()假定当t=T时刻,培养基已全部被细菌吃完,此时m应达到最大值��M=m0e∋T0�()d.(4)由于细菌采用分裂方式繁殖,由1个细菌分裂为2个新细菌.在T时刻的M个细菌,虽然没有营养供给,却还会存活一段时间�,当达到t=T+�时,M个细菌全部死亡.2�2�实验2�在二维空间下�收稿日期:2008-09-10作者简介:许金泉(1971-�),男,云南人,工程师,主要从事环境工程和材料物理化学方面的研究.图1�实验2中细菌繁殖的生长方式Fig�1�Styleofbacteriaofreproductionandgrowthinex�periment2图2��>!时细菌繁殖的生长曲线Fig�2�Thecurveofbacteriaofreproductionandgrowthin�>!��取一个圆形培养皿,在底部涂上一层极薄的培养基,在培养基的中心处接种细菌.细菌基本上是按同心圆向外扩散的方式繁殖,见图1.设细菌向外繁殖的速度为∀,则有��R=vt.(5)按此种方式接种,只有处在半径为R=vt圆周上的细菌,才有向外繁殖的机会.其所接触到的培养基完全是新鲜的,故而繁殖速度v应为一定值.假定在t到t+dt时段内,相应的v小圆环内细菌繁殖dm,则有��dm=#(2∃RdR)=2∃#v2dt.(6)其中:#为细菌的面密度.由(6)式得��m(t)=m0+∃#v2t2.(7)与(3)式相比,两者相差巨大.假定在t=T时刻,培养基已全部用完,此时m应达到最大值.��M=m0+∃#v2T2.(8)在此种培养方式中,细菌有的诞生,有的死亡,呈现出复杂情况.即使如此,也逃不脱2个时间�,!的制约.也就是说,�,!之间只可能有下列3种情况:�>!,�!情况下细菌繁殖规律�由图2可见,由于�>!细菌的生长曲线由生长期、稳定期和死亡期3部分构成.在生长期内,细菌全部存活,