Cesàro可和级数性质探讨

第35卷第3期2015年6月广东第二师范学院学报Journa[ofGuangdongUniversityofEducationVo1．35NO．3Jun．2015Ces6ro可和级数性质探讨旁後飞(广东第二师范学院数学系，广东广州510303)摘要：对级数在Cesdro意义下收敛的问题进行探讨，得到级数在Cesdro意义下收敛的一些性质，如Cesaro和与级数在通常意义下收敛的和的关系，级数可Cesdro求和的必要条件，级数在通常意义下收敛与Cesaro意义下收敛的关系等，进而更完整地解决了级数在Cesaro意义下收敛性的判定方法．关键词：Cesaro可和；数项级数；函数项级数中图分类号：0173．1文献标识码：A文章编号：2095—3798(2015)03—0042—060引言作为数学分析学的一项重要工具，级数不仅对数学学科本身的存在和发展有着深刻的意义，而且对其他科学技术及理论的发展产生有着极为重要的作用和影响．众所周知，要对一个级数求和，首先必须考虑其收敛性，因此，级数收敛性的判断，不单是级数理论及应用的主要板块之一，更是级数研究的重要的基础课题．基于以上原因，在整个级数研究中，对级数收敛性判定方法的研究有其必要性和学科价值．人们在讨论级数收敛的时候，往往会遇到这样一个问题：按照级数在通常情况下收敛的含义，即使一些很简单的级数也可能。。。。不收敛，例如，在通常意义下，(一1)一，：z(其中}z：一1且≠1)都是非收敛的；以2rr为周期的连n=1”=1续函数并不一定能用其傅里叶级数来逼近等等，这就使得人们对级数传统收敛性的认同大打折扣，这种现象在考虑级数相乘的柯西法则时特别突出．为了解决此问题，意大利数学家Cesaro(切萨罗，1890)提出了衡量级数收敛性的一种新方法一Cesaro求和法，即算术平均求和法．从此，关于级数收敛性的研究向前迈进了一大步．后来很多学者对级数在意义下收敛的问题进行了探讨，并从中得到了许多有价值的结论，例如，周期的连续函数的傅里叶级数在Cesdro意义下收敛于函数本身等等．但是遗憾的是，迄今为止，人们关于级数在Cesdro意义下收敛的条件的讨论还不够全面，还需要进一步深入研究．基于此，本文对级数在Cesdro意义下收敛的问题进行了探讨，得到了级数在Cesaro意义下收敛的一些性质，进而更完整地解决了级数在Cesaro意义下收敛性的判定方法．1级数的概念定义ic给定一个数列{}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式U1+U2+⋯++⋯(1)称为数项级数或常数项无穷级数(也常简称级数)，其中称为数项级数的通项．数项(1)也常写作∑“或n—l简单写作∑“．收稿日期：2015—03—18基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目(11301090)，广东第二师范学院博士科研专项经费资助项目(2013AFR02)作者简介：曹俊飞，男，湖北麻城人，广东第二师范学院数学系讲师．2015年第3期曹俊飞：Cesfiro可和级数性质探讨数项级数(1)的前项和记为S一∑“一“+。+⋯+“，(2)k—l称它为数项级数(1)的第个部分和，也简称部分和．定义2E若数项级数(1)的部分和数列{S)收敛于S(即limS一S)，则称数项级数(1)收敛，称s为数n—-。。项级数(1)的和，记作S一“+甜+⋯++⋯或S一∑“．若{s)是发散数列，则称数项级数(1)发散．定义3Ⅲ设{“(z)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式“l()+U2(z)+⋯+(z)+⋯，z∈E称为定义在E上的函数项级数，简记为∑“(z)或∑“(-z)．称一1S(z)=∑“(z)，z∈E，一1，2，⋯为函数项级数(3)的部分和函数列．定义4E若。∈E，数项级数“1(-zo)+“2(zo)+⋯+U(z0)+⋯(3)(4)(5)收敛，即部分和S(z。)一∑“(。)当一。。时极限存在，则称级数(3)在点。收敛，若级数(5)发散，则称级数(3)在点。发散．若级数(3)在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数(3)在D上收敛．定义5E设有一个无穷级数∑a，记S一∑a为它的部分和，如果{s)的算术平均数列：一，’2，⋯．收敛，且[J—lima~=a,财称级数薹。在Cesdro意义下收敛或均值意义下收敛，称为级数∑n的Cesdro和，其中{}称为数列(s}的均值数列．2预备知识引理1(Cauchy命题)嘲设{92}收敛于z，则它的前项的算术平均值(所成的数列)也收敛于z，即有，．z1十z2十⋯十llm一：t．n一∞引理2(Stolz定理)Ⅲ设数列{a)是严格单调增加的无穷大量，又存在1im：￡(其中z为有限a+l—a或±oo)，则有1im一z．一。。口引理3Ⅲ(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设￡，(一1，2，⋯，72)为两组实数，若令一+U2+⋯+(志===1，2⋯，)，