公共基础（数理化）精讲班第一章高等数学（十九）-1534853664479

环球网校学员专用资料第1页页/共5页页第二节第二节可降阶微分方程可降阶微分方程1.1.形如形如)()(xfyn的微分方程的微分方程这种方程求解非常简单，只要对方程右端的函数积分n次则可【例题9-10】微分方程sinyxx的通解是：（12,CC为任意常数）(A)3121sin3xxCxC(B)3121sin6xxCxC(C)2121cos2xxCxC(D)2121sin2xxCxC解：对sinyxx两边积分两次，可得3121sin6yxxCxC，故应选(B).2.2.形如形如)',(yxfy的二阶微分方程，该方程中不显含变量的二阶微分方程，该方程中不显含变量y求解方法是：先做变量替换()ypx，从而dPydx，将原二阶方程化为变量p和x的一阶微分方程，解这个一阶方程得到通解。再将py代入，又是一个变量y和x一阶微分方程，解这个方程，就可得原方程的通解。【例题9-11】微分方程2yy的通解是：（12,CC为任意常数）(A)lnxC(B)ln()xC(C)21lnCxC(D)21lnCxC解：这是不显含y的可降阶微分方程，令()ypx，则yp代入原方程，得2pdxdp，用分离变量法求解得，11yxC，两边积分，可得21lnyCxC,故应选(D).第三节第三节二阶线性微分方程二阶线性微分方程形如()()()yPxyQxyfx的方程叫做二阶线性方程。当0)(xf时，环球网校学员专用资料第2页页/共5页页()()0yPxyQxy叫做二阶齐次线性方程；当0)(xf时，叫做二阶非齐次线性方程。1.1.二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质（1）若1y、2y为齐次方程的任意两个解，则1122yCyCy（1C、2C为任意常数）也是齐次方程的解。（2)若1y、2y为非齐次方程的任意两个解，则21yy是对应齐次方程的解。（3）若1y、2y为非齐次方程的解，则当121CC时，1122yCyCy也是非齐次方程的解。2.2.二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构（1）二阶齐次线性方程通解结构：若1y、2y是齐次方程的两个线性无关特解，则齐次线性方程的通解为1122yCyCy（12,CC为任意常数）（2）二阶非齐次线