公共基础（数理化）精讲班第一章高等数学（二十五）-1534853915983

环球网校学员专用资料第5页页/共7页页第七节第七节二次型二次型11．基本概念．基本概念（1)定义：含有n个变量12,,,nxxx的二次齐次函数（即每项都是二次的多项式）221211112121213112222323(,,,)2222nnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxx2222nnnnnaxxax称为二次型。（2)二次型的矩阵表示:如果取jiijaa，则2ijijijijjijiaxxaxxaxx，于是二次型可表为,1nijijijfaxx。如果记nnijaA)(，12(,,,)Tnxxxx，则有TfxAx，称该式为二次型的矩阵表示。这里有TAA，即A为对称矩阵，称A为二次型f的矩阵，称矩阵A的秩()rA为二次型f的秩，记为()rf。例如：二次型22342fxzxyyz的矩阵120201013A。（3)合同矩阵:设A,B为两个n阶实对称阵阵,如果存在一个可逆矩阵C使得BACCT成立,则称矩阵A与B合同，记为BA。【例题11-6】设1112A，与A合同的矩阵是：(A)1112(B)1112(C)1112环球网校学员专用资料第6页页/共7页页(D)1112解：取1001C，则TCC，而TCAC1112，故选(A)。22．二次型的标准形和规范形．二次型的标准形和规范形（1）定义：如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项()ijxxij的系数全是零，即2221122TnnfxAxdxdxdx这样的二次型称为标准形。特别地形如22222121TpprfxAxxxxxx标准型，称为二次型的规范形。其中r为A的秩，p为正惯性指数,pr为负惯性指数。（2）结论：任一实二次型f都可经合同变换化为规范形,且规范性是惟一的。33．二次型的正定性及正定矩阵．二次型的正定性及正定矩阵（1)定义：如果实二次型TfxAx对任意一组不全为零的实数1(,)Tnxxx，都有0TfxAx，则称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵A称为正定矩阵。（2）重要结论：1）合同变换不改变二次型的正定性。2)二次型TfxAx是正定二次型的充分必要条件是：正惯性指数为