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10-4习题1041设有一分布着质量的曲面在点(xyz)处它的面密度为(xyz)用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量解假设(xyz)在曲面上连续应用元素法在曲面上任意一点(xyz)处取包含该点的一直径很小的曲面块dS(它的面积也记做dS)则对于x轴的转动惯量元素为dIx(y2z2)(xyz)dS对于x轴的转动惯量为dSzyxzyIx),,()(222按对面积的曲面积分的定义证明公式dSzyxfdSzyxfdSzyxf),,(),,(),,(21其中是由1和2组成的证明划分1为m部分S1S2Sm划分2为n部分Sm1Sm2Smn则S1SmSm1Smn为的一个划分并且iiiinmmiiiiimiiiiinmiSfSfSf),,(),,(),,(111令}{max11imiS}{max12inmimS},max{21则当0时有dSzyxfdSzyxfdSzyxf),,(),,(),,(213当是xOy面内的一个闭区域时曲面积分dSzyxf),,(与二重积分有什么关系？解的方程为z0(xy)DdxdydxdyzzdSyx221故dxdyzyxfdSzyxfD),,(),,(4计算曲面积分dSzyxf),,(其中为抛物面z2(x2y2)在xOy面上方的部分f(xyz)分别如下(1)f(xyz)1解z2(x2y2)Dxyx2y22dxdyyxdxdyzzdSyx22224411因此dxdyyxdSzyxfxyD22441),,(2020241rdrrd313])41(121[2202/32r(2)f(xyz)x2y2解z2(x2y2)Dxyx2y22dxdyyxdxdyzzdSyx22224411因此dxdyyxyxdSzyxfxyD2222441)(),,(