空间曲线及其方程

空间曲线及其方程设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),,(0),,(zyxGzyxF即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(2)xyzoS1S2C二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程x2+y2=1x+y+z=2.yxz0例5:柱面x2+y2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是2.空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例6:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而x=|OM|·cosAOM=acosty=|OM|·sinAOM=asint(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM=vt得螺旋线的参数方程x=acosty=asintz=vt注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acosy=asinz=b.vb这里当从0变到0+是,z由b0变到b0+b,即M点上升的高度与OM转过的角度成正比.特别,当=2时,M点上升高度h=2b,h在工程上称h=2b为螺距.