同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)

同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)习题111.设A(,5)(5,),B[10,3),写出AB,AB,A\B及A\(A\B)的表达式.解AB(,3)(5,),AB[10,5),A\B(,10)(5,),A\(A\B)[10,5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)CACBC.证明因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以(AB)CACBC.3.设映射f:XY,AX,BX.证明(1)f(AB)f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).4.设映射f:XY,若存在一个映射g:YX,使XIfg,YIgf,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IXxx;对于每一个yY,有IYyy.证明:f是双射,且g是f的逆映射:gf1.证明因为对于任意的yY,有xg(y)X,且f(x)f[g(y)]Iyyy,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]gf(x2)]x1x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:YX,因为对每个yY,有g(y)xX,且满足f(x)f[g(y)]Iyyy,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:XY,AX.证明:(1)f1(f(A))A;(2)当f是单射时,有f1(f(A))A.证明(1)因为xAf(x)yf(A)f1(y)xf1(f(A)),所以f1(f(A))A.(2)由(1)知f1(f(A))A.另一方面,对于任意的xf1(f(A))存在yf(A),使f1(y)xf(x)y.因为yf(A