4.无穷级数和微分方程

4.无穷级数和微分方程1.4无穷级数无穷级数1.4.1数项级数1.4.2幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数数项级数给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。1.数项级数定义数项级数定义2.基本性质基本性质,1nnuS1nnv)(1nnnvu性质性质1.若级数收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为.S说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5：设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.等比级数时当1qpppn131211(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,;1qa级数发散.其和为3.几个重要级数的收敛性几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数p>0)p-级数发散。收敛，当11pp